사차원 속도

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1. 개요
2. 상대성 이론
3. 3차원 속도와의 관계
4. 응용
- 4.1. 사차원 운동량
- 4.2. 사차원 전류
참조

1. 개요

사차원 속도는 특수 상대성 이론에서 위치의 고유 시간에 대한 미분으로 정의되는 사차원 벡터이다. 사차원 속도는 로렌츠 변환에 대해 스칼라인 고유 시간의 정의에 따라 사차원 벡터이며, 시간 팽창과 연관된다. 사차원 속도는 시간꼴 세계선의 접선 사차원 벡터이며, 사차원 운동량 및 사차원 전류와 같은 물리량을 계산하는 데 사용된다. 사차원 속도의 크기는 항상 -c²로 일정하며, 3차원 속도와 밀접한 관련이 있다.

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사차원 속도
개요
유형	사차원 벡터
분야	특수 상대성 이론, 일반 상대성 이론
정의	'위치의 변화율 (시간에 대한) (위치의 변화는 시간의 함수로 간주됨)'
기호	U
SI 단위	m/s
차원	LT⁻¹
파생	'U = dX/dτ'
구성 요소	(γc, γu)
여기서	X는 사차원 위치 τ는 고유 시간 u는 삼차원 속도 γ는 로렌츠 인자
제곱 크기	² = U ⋅ U = g_μνU^νU^μ = ±c²
상세 정보
영어 명칭	Four-velocity
설명	사차원 시공간에서의 속도 개념의 유사체. 일반적인 속도는 거리가 시간으로 나뉜 것인 반면, 사차원 속도는 시공간의 사차원 위치 (위치 벡터라고도 함)를 입자의 고유 시간으로 나눈 것으로 정의됨. 여기서 고유 시간은 입자의 기준틀에서 측정한 시간 간격임. 즉, 사차원 속도는 입자가 자신의 기준틀에서 '경험하는' 시간당 이동하는 시공간의 양을 나타냄.
기호	U
공식	U = dX / dτ
여기서	X는 사차원 위치 벡터 τ는 고유 시간
성분	U = (γc, γv)
여기서	γ는 로렌츠 인자 c는 진공에서의 광속 v는 삼차원 속도
크기	U ⋅ U = -c²
특성	사차원 속도의 크기는 항상 일정하며, 광속과 같음. 이는 입자의 속도와 무관하게 유지됨.
활용	사차원 운동량 계산 상대론적 운동량과 에너지 관계 정의 시공간 다이어그램 분석
참고
관련 항목	사차원 위치 고유 시간 로렌츠 인자 사차원 운동량

2. 상대성 이론

아인슈타인의 상대성 이론에서, 특정 관성 좌표계에 대해 움직이는 물체의 경로는 네 개의 좌표 함수 $x^\mu(\tau)$로 정의된다. 여기서 $\mu$는 시간 좌표 성분에 대해 0의 값을, 공간 좌표에 대해 1, 2, 3의 값을 갖는 시공간 지표이다. 0번째 성분은 시간 좌표에 $c$를 곱한 값으로 정의된다.^[3]

: $x^0 = ct\,.$

각 함수는 고유 시간이라고 하는 하나의 매개변수 $\tau$에 의존한다. 열 벡터로 나타내면 다음과 같다.^[3]

: $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x^0(\tau) \\ x^1(\tau) \\ x^2(\tau) \\ x^3(\tau) \\\end{bmatrix}\,.$

사차원 속도는 세계선의 임의의 점에서 사차원 위치 $\mathbf{X}$를 고유 시간 $\tau$로 미분하여 정의한다.^[3]

2. 1. 시간 팽창

시간 팽창에서 미분의 좌표 시간(t)와 고유 시간(τ)은 다음과 같이 관련되어 있다.

:

dt = \gamma(u) d\tau

여기서 로렌츠 인자

:

\gamma(u) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\,,

는 3차원 속도 벡터 의 유클리드 노름 u의 함수이다.

:

u =  \left\|\ \vec{u}\ \right\| = \sqrt{ \left(u^1\right)^2 + \left(u^2\right)^2 + \left(u^3\right)^2} \,.

2. 2. 정의

사차원 속도는 위치

x^\mu

를 고유 시간

\tau

로 미분한 값이다.

:

u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}

.

로런츠 변환에 대한 고유 시간은 스칼라이므로 사차원 속도는 사차원 벡터이다. 고유 시간은

:

\tau=t/\gamma

이므로,

:

u^\mu=\gamma\frac{d}{dt}x^\mu=\gamma(1,v_x,v_y,v_z)

가 된다. 여기서

v_x=dx/dt

,

v_y=dy/dt

,

v_z=dz/dt

는 물체의 삼차원 속도의 성분이다.

그 공간 성분

\mathbf u=\gamma\mathbf v

는 고유속도(proper velocity(=celerity))이다.^[4]

정의에 따라, 사차원 속도는

:

u^2=\sum_{\mu,\nu=0}^3 u^\mu u^\nu\eta_{\mu\nu}=\gamma^2-\gamma^2\lVert\mathbf v\rVert^2=1

을 만족한다. 정지 질량이

m_0

인 물체의 사차원 운동량은

:

p^\mu=m_0u^\mu

이다.

사차원 속도는 시간꼴 세계선의 접선 사차원 벡터이며 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}

여기서

\mathbf{X}

는 사차원 위치이고

\tau

는 고유 시간이다.^[3]

고유 시간을 사용한 사차원 속도는 빛의 속도로 이동하는 광자와 같은 질량이 없는 물체의 세계선에 대해서는 존재하지 않으며, 접선 벡터가 공간꼴인 타키온 세계선에 대해서도 정의되지 않는다.

2. 3. 구성 요소

3차원 공간에서 물체의 경로는 시간 ''t''의 3개의 공간 좌표 함수 $x^i(t)$로 표현될 수 있으며, 여기서 $i$는 1, 2, 3의 값을 갖는 인덱스이다. 세 좌표는 3차원 위치 벡터를 형성하며, 이는 열 벡터로 작성된다.^[3]

\vec{x}(t) = \begin{bmatrix} x^1(t) \\[0.7ex] x^2(t) \\[0.7ex] x^3(t) \end{bmatrix} \, .

아인슈타인의 상대성 이론에서, 특정 관성 좌표계에 대해 움직이는 물체의 경로는 네 개의 좌표 함수 $x^\mu(\tau)$로 정의되며, 여기서 $\mu$는 시간 좌표 성분에 대해 0의 값을, 공간 좌표에 대해 1, 2, 3의 값을 갖는 시공간 지표이다. 0번째 성분은 시간 좌표에 $c$를 곱한 값으로 정의된다.^[3]

x^0 = ct\,,

각 함수는 고유 시간이라고 하는 하나의 매개변수 $\tau$에 의존한다. 열 벡터로 나타내면 다음과 같다.^[3]

\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x^0(\tau) \\ x^1(\tau) \\ x^2(\tau) \\ x^3(\tau) \\\end{bmatrix}\,.

사차원 속도는 세계선의 임의의 점에서 다음과 같이 정의된다.^[3]

\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}

여기서 $\mathbf{X}$는 사차원 위치이고 $\tau$는 고유 시간이다.^[3]

시간 $t$와 좌표 시간 $x^0$ 사이의 관계는 다음과 같이 정의된다.^[3]

x^0 = ct .

이것을 고유 시간 $\tau$에 대해 미분하면, $\mu = 0$인 $U^\mu$ 속도 성분을 찾을 수 있다.^[3]

U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)

그리고 다른 3개의 성분들을 고유 시간에 대해 미분하면 $\mu = 1, 2, 3$인 $U^\mu$ 속도 성분을 얻는다.^[3]

U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =\frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} =\frac{dx^i}{dt} \gamma(u) =\gamma(u) u^i

여기서 우리는 연쇄 법칙과 다음 관계를 사용했다.^[3]

u^i = {dx^i \over dt } \,,\quad \frac{dt}{d\tau} = \gamma (u)

따라서 사차원 속도 $\mathbf{U}$는 다음과 같다.

\mathbf{U} = \gamma \begin{bmatrix} c \\ \vec{u} \\ \end{bmatrix}.

표준 사차원 벡터 표기법으로 작성하면 다음과 같다.

\mathbf{U} = \gamma \left(c, \vec{u}\right) = \left(\gamma c, \gamma \vec{u}\right)

여기서 $\gamma c$는 시간 성분이고 $\gamma \vec{u}$는 공간 성분이다.

로렌츠 인자 $\gamma(u)$는 3차원 속도 벡터 $\vec{u}$의 유클리드 노름 $u$의 함수이다.^[3]

u =  \left\|\ \vec{u}\ \right\| = \sqrt{ \left(u^1\right)^2 + \left(u^2\right)^2 + \left(u^3\right)^2} \,.

평평한 시공간의 특정 조각과 관련된 동기화된 시계와 자의 관점에서, 사차원 속도의 세 개의 공간적 성분은 이동하는 물체의 고유 속도 $\gamma \vec{u} = d\vec{x} / d\tau$를 정의한다. 즉, 물체와 함께 이동하는 시계에서 경과된 고유 시간 단위당 참조 맵 프레임에서 거리가 커버되는 속도이다.

2. 4. 크기

민코프스키 계량 부호

(-, +, +, +)

를 사용하여 정지 좌표계에서 사차원 위치의 미분을 통해 사차원 속도의 크기를 구할 수 있다.

:

\left\|\mathbf{U}\right\|^2 = \eta_{\mu\nu} U^\mu U^\nu = \eta_{\mu\nu} \frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX^\nu}{d\tau} = - c^2 \,,

간단히 말해, 모든 물체의 사차원 속도의 크기는 항상 고정된 상수이다.

:

\left\|\mathbf{U}\right\|^2 = - c^2

움직이는 좌표계에서 같은 노름은 다음과 같다.

:

\left\|\mathbf{U}\right\|^2 = {\gamma(u)}^2 \left( - c^2 + \vec{u} \cdot \vec{u} \right) ,

따라서,

:

- c^2 = {\gamma(u)}^2 \left( - c^2 + \vec{u} \cdot \vec{u} \right) ,

이는 로런츠 인자의 정의로 축소된다.

3. 3차원 속도와의 관계

3차원 공간(관성 좌표계 내)에서 물체의 경로는 시간 '''t'''의 3개의 공간 좌표 함수 ''xⁱ''(''t'')로 표현될 수 있으며, 여기서 ''i''는 1, 2, 3의 값을 갖는 인덱스이다.

세 좌표는 3차원 위치 벡터를 형성하며, 이는 열 벡터로 작성된다.

: $\vec{x}(t) = \begin{bmatrix} x^1(t) \\[0.7ex] x^2(t) \\[0.7ex] x^3(t) \end{bmatrix} \, .$

세계선 상의 임의의 지점에서 속도 $\vec{u}$ (곡선에 접선)의 성분은 다음과 같다.

: $\vec{u} = \begin{bmatrix} u^1 \\ u^2 \\ u^3 \end{bmatrix} = \frac{d \vec{x}}{dt} =\begin{bmatrix} \tfrac{dx^1}{dt} \\ \tfrac{dx^2}{dt} \\ \tfrac{dx^3}{dt} \end{bmatrix}.$

각 성분은 단순히 다음과 같이 작성된다.

: $u^i = \frac{dx^i}{dt}$

4. 응용

사차원 속도는 사차원 운동량, 사차원 전류 등 다른 사차원 벡터를 정의하는 데 사용된다.

4. 1. 사차원 운동량

정지 질량이

m_0

인 물체의 사차원 운동량은 다음과 같이 정의된다.^[4]

:

p^\mu=m_0u^\mu

여기서

u^\mu

는 사차원 속도이다.

사차원 속도(

\mathbf{U}

)를 사용하여 표현하면, 사차원 운동량(

\mathbf{P}

)은 다음과 같다.

:

\mathbf{P} = m_o\mathbf{U} = \gamma m_o\left(c, \vec{u}\right) = m\left(c, \vec{u}\right) = \left(mc, m\vec{u}\right) = \left(mc, \vec{p}\right) = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)

전하 밀도가

\rho_o

인 경우 사차원 전류 (

\mathbf{J}

)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{J} = \rho_o\mathbf{U} = \gamma \rho_o\left(c, \vec{u}\right) = \rho\left(c, \vec{u}\right) = \left(\rho c, \rho\vec{u}\right) = \left(\rho c, \vec{j}\right)

4. 2. 사차원 전류

사차원 전류는 전하 밀도

\rho_o

에 사차원 속도를 곱하여 얻어지는 물리적 사차원 벡터이다. 공식은 다음과 같다.

:

\mathbf{J} = \rho_o\mathbf{U} = \gamma \rho_o\left(c, \vec{u}\right) = \rho\left(c, \vec{u}\right) = \left(\rho c, \rho\vec{u}\right) = \left(\rho c, \vec{j}\right)

여기서

\rho_o

는 전하 밀도를 의미하며,

\gamma

인자는 로렌츠 스칼라 항과 결합하여 4번째 독립적인 성분을 만든다.

:

\rho = \gamma \rho_o

참조

_[1] 문서 tangent space
_[2] 문서 Lorentz transformation
_[3] 서적 Dynamics and relativity Oxford University Press 1999
_[4] 저널 Proper velocity https://en.wikipedia[...] 2018-04-17

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